Вычисление интеграла для нахождения светимости абсолютно-чёрного
тела
1. Приведение интеграла к сумме ряда почленным интегрированием
Доказательство:
Так как при x>0 для
знаменателя геометрической прогрессии выполняется неравенство:
,
то подинтегральная дробь является бесконечной суммой убывающей геометрической
прогрессии:
Рассмотрим функцию:
Производная этой функции равна:
Эта производная равна нулю в точке
В этой же точке производная функции f(x) меняет свой знак с "плюса" на "минус",
следовательно, эта точка является точкой максимума функции, и в ней функция
принимает максимальное значение, равное:
Следовательно, для любых значений аргумента x, удовлетоворяющего условию
,
выполняется неравенство:
, и так как сходится ряд:
,
то равномерно по x сходится
ряд:
,
и, следовательно, этот ряд можно почленно интегрировать:
Интеграл
вычисляется интегрированием по частям
Первый предел:
Второй предел находится с помощью правила Лопиталя:
Следовательно,
Доказано соотношение:
2. Вычисление суммы ряда
Для функции
коэффиициенты Фурье равны:
Ряд фурье для этой функции:
Отсюда следует:
Искомая сумма ряда равна:
3. Вычисление суммы ряда
Для функции
коэффиициенты Фурье равны:
Ряд фурье для этой функции:
Отсюда следует:
Искомая сумма ряда равна:
Вычисление интеграла для нахождения светимости абсолютно-чёрного
тела
Ответ
