Алгебраическое уравнение четвёртой степени
1. Приведение уравнения к каноническому виду.
Сделаем замену переменного по формуле:
Получим уравнение:
Раскроем скобки:
Получим уравнение:
или
или
Уравнение приведено к каноническому виду
, 
,
, 
2. Решение уравнения
Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных
уравнения
Рассмотрим случай, когда q не равно нулю. Верно тождество:
Поэтому:
Получили уравнение:
Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y. Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y, стоящего справа, обращался в нуль:
Мы получили кубическое уравнение.
Вывод формул корней кубического уравнения по этой ссылке:
kardano.htm
Если z - один из корней кубического уравнения:
то уравнение
запишется в виде:
Отсюда следует:
Необходимо решить два квадратных уравнения:
Получаем четыре корня:
Корни этих квадратных уравнений y1, y2, y3, y4 являются решением исходного уравнения
Рассмотрим случай, когда q=0
Уравнение:
имеет четыре корня:
Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.
Смотрите пока Википедия
Обоснование этого способа решения уравнения четвёртой степени находится в стадии разработки.
3. Программа решения уравнения четвёртой степени.
Эта программа находит четыре корня уравнения четвёртой степени двумя способами
О способе разложения на два квадратных уравнения.
Если q не равно нулю, то кубическое уравнение
всегда имеет положительный действительный корень, так как при z=0 значение многочлена в левой части уравнения отрицательно: -q^2/8, а при стремлении z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M, и так как непрерывная на отрезке [0; M] функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3, так как Cos(F/3)≥0 при 0≤F≤3/2*Pi, если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.
Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение
О способе Декарта-Эйлера.
После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравнения:
Если это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.
Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.
Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня.
Программа "Решение уравнения четвёртой степени A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E=0".
(191640 байт, 26.04.2008)
Код программы "Решение уравнения четвёртой степени A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E=0"
Программа "Решение уравнения пятой степени A*x^5+B*x^4+C*x^3+D*x^2+E*x+F=0".
(364234 байт, 26.04.2008)
Код программы "Решение уравнения пятой степени A*x^5+B*x^4+C*x^3+D*x^2+E*x+F=0"