Вычисление интеграла для нахождения светимости абсолютно-чёрного тела

int_0^infinity[x^3/(e^x-1)]dx?

Шаг №1
Шаг №2
Шаг №3

1. Приведение интеграла к сумме ряда почленным интегрированием:



Доказательство: Так как при x>0 для знаменателя геометрической прогрессии выполняется неравенство:

,

то подинтегральная дробь является бесконечной суммой убывающей геометрической прогрессии:









Рассмотрим функцию:



Производная этой функции равна:



Эта производная равна нулю в точке



В этой же точке производная функции f(x) меняет свой знак с "плюса" на "минус", следовательно, эта точка является точкой максимума функции, и в ней функция принимает максимальное значение, равное:



Следовательно, для любого значения аргумента x, удовлетоворяющего условию



выполняется неравенство:



Так как сходится ряд

,

то равномерно по x сходится ряд:

,

и, следовательно, этот ряд можно почленно интегрировать:






Интеграл



вычисляется интегрированием по частям:















Первый предел:



Второй предел находится с помощью правила Лопиталя:



Следовательно,



Доказано соотношение:



2. Вычисление суммы ряда



Для функции



коэффиициенты Фурье равны:













Ряд Фурье для этой функции:

Ряд Фурье для функции y=x^2

Отсюда следует:





Искомая сумма ряда равна:

Сумма ряда c общим членом n^2

3. Вычисление суммы ряда



Для функции



коэффиициенты Фурье равны:

















Ряд фурье для этой функции:

Ряд Фурье для функции y=x^4

Отсюда следует:









Искомая сумма ряда равна:

Сумма ряда c общим членом n^4

Вычисление интеграла для нахождения светимости абсолютно-чёрного тела

Ответ:



На главную страницу.